Электромагнитное излучение на пальцах
[Опубликовано с сокращениями в журнале «Квант», 2014, № 3, с. 28–30]
С одной стороны, научно-фантастический роман «Астровитянка» – обычная космическая фантастика для подростков. Главная героиня, девочка Никки Гринвич, 10 лет прожила робинзоном на астероиде, разговаривая только с компьютером. Потом она попала в знаменитый Колледж Эйнштейна на Луне, и у неё появились друзья – Джерри и принцесса Дзинтара – и враги – принц Дитбит с его приятелями (можно, я не буду рассказывать, откуда в 23 веке взялись принцы и принцессы?). С другой стороны, «Астровитянка» – чрезвычайно странная книга. Её герои не только попадают из одного приключения в другое, борются с врагами, дружат и влюбляются, но и разбирают на уроках в колледже Эйнштейна самые замысловатые вопросы физики. Научно-популярное содержимое «Астровитянки» переросло страницы романа, и сейчас «Астрель» печатает уже третий сборник научных сказок для детей (в книге их читает своим детям повзрослевшая принцесса Дзинтара): «Звёздный витамин» (2012), «Небесные механики» (2013), «Колумбы Вселенной» (2014, в печати). Профессору Владу Сыщенко удалось заполучить запись одной из лекций в Колледже Эйнштейна – и я надеюсь, она понравится читателям «Кванта». Не важно, что действие происходит в 23 веке и на Луне – ведь физика, она везде и всегда физика.
Ник. Горькавый, астрофизик и писатель
Уроки физики в Колледже Эйнштейна
Электромагнитное излучение на пальцах
В. Сыщенко
Объявление на классной доске возвещало: «Сегодняшнее занятие проводит профессор Ван-Теллер». Прозвенел звонок, надпись полыхнула синим пламенем и исчезла, оставив доску безупречно чистой. В тот же момент дверь открылась, и в аудиторию вошел высокий человек с кустистыми бровями. Никки не сразу узнала старого профессора, прошедшего курс омоложения.
– Здравствуйте! Коллега Дермюррей уехал на конференцию, и сегодняшний урок проведу я. Судя по программе, вы уже освоили изрядный кусок электродинамики? – Профессор обвел взглядом класс. – Сейчас посмотрим, как вы ее поняли.
– Профессор, сколько можно обсуждать результаты позапрошлого века? – с претензией в голосе произнес принц Дитбит. – Первая контрольная, вторая контрольная, коллоквиум…
– Да-да, в мое время после трех двоек подряд студент вылетал из колледжа… – по лицу профессора разлилась блаженная улыбка, резко контрастировавшая с недовольной физиономией принца. – Итак, кто из вас скажет, как породить электромагнитную волну?
В ответ раздался хор голосов:
– Подвигать электрон с ускорением! Покачать туда-сюда!
– А кто возьмется объяснить, почему ускоренно движущийся заряд излучает?
– … уравнения Максвелла … запаздывающие потенциалы … – послышалось с разных сторон, кто-то даже начал перебрасывать через школьный компьютер формулы на доску и стены.
– Достаточно, достаточно! – Профессор поднял ладони перед собой. – Я верю, что вы знаете, как все это выводится, иначе бы вы здесь не сидели, – и профессор опять плотоядно улыбнулся. – Но самые внимательные из вас могли заметить, что я задал несколько иной вопрос: кто может ОБЪЯСНИТЬ, почему ускоренно движущийся заряд излучает? Доступно, по рабоче-крестьянски?
– По рабоче-как?.. – скривил губы не поверивший своим ушам принц Дитбит.
Улыбка сползла с лица профессора. Оказывается, он и без деревянной клюки мог выглядеть весьма грозно.
– Крестьянски! – с нажимом повторил Ван-Теллер, вперив в принца такой тяжелый взгляд, что с того мигом слетело процентов тридцать обычной наглости. Сквозь истончившуюся оболочку наследный отпрыск династии Дитбитов почувствовал буравящие взгляды своих подпевал, яснее всяких слов говорившие: «Уступишь – значит слабак!»
Неизвестно, чем бы все это кончилось, если бы в тот же момент весь остальной класс не повернулся, будто по команде, указывая на девочку с хрустальными волосами:
– Никки! Она знает! Она на своем астероиде картошку выращивала!
«И баобабы выпалывала!» – проворчала про себя Никки, а вслух произнесла:
– Вообще-то помидоры, профессор…
– Помидоры тоже пасленовые, тоже неплохо… Итак, мисс Гринвич?
– Если электрон движется прямолинейно и равномерно, то всегда можно найти инерциальную систему отсчета, в которой он покоится. А у покоящегося электрона энергия минимальна, ему просто нечего излучать. А так как физика явления не меняется при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, то и равномерно движущийся электрон излучать не будет. Значит, для возможности излучать остается только ускоренное движение.
– Ну что ж, мисс Никки. Все правильно, привлечение принципа относительности вполне достойно ученицы школы Эйнштейна. Только вот последняя фраза мне не очень нравится, она не отвечает на поставленный вопрос. Тот факт, что равномерно движущийся заряд излучать не может, сам по себе еще не означает, что его ускоренно движущийся собрат излучать БУДЕТ. Попробуйте еще раз. Почему же ускоренно движущийся заряд излучает?
«Да, въедливости у профессора не убавилось!» – подумала Никки, а вслух обратилась к школьному компьютеру: – Вибратор Герца, пожалуйста!
На большом экране появилась классическая картинка (рис. 1).
Рис. 1. [Источник: Линднер Г. Картины современной физики. – М., Мир, 1977.]
– Возьмем два металлических шара, соединенных проводящим стержнем. Пусть под действием генератора (на рисунке не показан) некоторая часть электронов сконцентрируется в нижнем шаре. Тогда между шарами возникнет электрическое поле. Если теперь позволить электронам перетекать из нижнего шара в верхний, то в стержне возникнет электрический ток, создающий магнитное поле. Затем ситуация повторится с изменением полярности. Генератор будет поддерживать незатухающие колебания электронов.
– Хорошо, а теперь каверзный вопрос. – Профессор снова улыбнулся. – Вблизи вашего диполя магнитное поле достигает максимума, когда максимума достигает ток в соединяющем шары стержне, то есть, когда заряды в обоих шарах обращаются в нуль, а с ними – и электрическое поле в прилегающей области пространства. Иными словами, электрическое и магнитное поля вблизи диполя сдвинуты по фазе на 90 градусов друг относительно друга. Но ведь в электромагнитной волне, уносящейся прочь от диполя, эти поля колеблются синфазно (рис. 2), одновременно достигая максимума в выбранной точке пространства, и одновременно же обращаясь в нуль!
Рис. 2. Напряженности электрического и магнитного полей в электромагнитной волне в каждый момент времени равны друг другу по абсолютной величине, и перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны.
– Но ведь это не вопрос, а утверждение, профессор! – верный рыцарь Джерри, сидевший с Никки за одной партой, мужественно принял огонь на себя.
– Верно, юноша! Вопрос мог бы звучать: «Как же так получается?», но я не стал его формулировать по той простой причине, что на него невозможно ответить без анализа уравнений Максвелла. И вообще, проследить перестройку поля вблизи антенны в поле излучения – не такая простая задача. А мы ведь сегодня договорились обходиться без сложной математики, не так ли?
– И все-таки, – профессор снова обратился к Никки, – в вашем рассуждении опять есть привлекательный для наших сегодняшних целей элемент. Вы попытались изобразить поле излучения силовыми линиями. После Герца это делали редко, хотя ничего более наглядного в области электродинамики не придумано. И поэтому сейчас я вам кое-что покажу! Ловкость рук и никакого мошенничества! – Профессор вскинул руки и продемонстрировал аудитории пустые ладони. – Внимание на доску! – И профессор прыжком вскочил на эстраду.
Энтузиазм профессора мало-помалу передавался ученикам. Что такого удивительного он сможет им показать после проекций многомерных поверхностей, фотографий далеких галактик и упакованных в умопомрачительные структуры белковых молекул?
– Итак, пусть сначала наш заряд покоится. Рисуем расходящиеся от него силовые линии. – Профессор провел раз двадцать стилосом по доске, оставляя слегка корявые линии. Школьный компьютер тут же подправил их и снабдил стрелочками (рис. 3).
Рис. 3.
– А теперь представим себе, что скорость заряда мгновенно, скачком изменилась от нуля до некоторого конечного значения v…
– Профессор, а разве так бывает? – спросил мальчик в очках с первой парты.
– Ну, конечно же, нет. Это некое приближение, идеализация. Если у нас останется время, мы обсудим пределы его применимости. Так вот, попробуем понять, как будет выглядеть наша картинка спустя время t после старта. Сигнал о том, что заряд пришел в движение, распространяется со скоростью света c. Нарисуем сферу радиуса ct с центром точке, откуда стартовал заряд (рис. 4). Поле снаружи этой сферы еще не «знает» о том, что произошло, и остается таким же, каким оно было до начала движения заряда. – И профессор сделал неожиданный выпад в сторону Никки: – А что будет внутри сферы?
Рис 4.
– Поле равномерно движущегося заряда! – не дала застать себя врасплох Никки.
– Верно! Пусть для простоты движение его медленное, v << c. Тогда силовые линии будут выглядеть точно так же, как и у неподвижного заряда. Только исходить они будут из того места, куда за время t переместился заряд.
Профессор провел ладонью внутри окружности, и компьютер стер прежние линии (рис. 5), тактично подождал, пока профессор нарисует новые, после чего подправил их (рис. 6).
Рис. 5. Рис. 6.
– А теперь вспомним, что силовые линии электрического поля непрерывны, начинаться и заканчиваться они могут только на зарядах, а на нашей сфере никаких зарядов нет.
«Ну да, теорема Гаусса, четвертое уравнение Максвелла,» – подумала Никки. – «Все-таки совсем без уравнений он не обошелся».
– А раз так, – продолжал профессор, по голосу которого можно было предположить, что рассказ достиг кульминации, – то каждая из наших силовых линий внутри сферы соединится вот таким кусочком (целиком лежащим на сфере) с соответствующей линией снаружи (рис. 7). Так что на сфере мы получаем бесконечную густоту силовых линий, а значит, бесконечную напряженность поля. Но не стоит беспокоиться, это просто следствие нашей идеализации с мгновенным ускорением.
Рис. 7.
– А теперь самое главное. Эта сфера с лежащими на ней силовыми линиями электрического поля «распухает» со скоростью света. Скажите мне, что это за поле такое, которое распространяется со скоростью света и напряженность которого перпендикулярна направлению распространения?
В ответ раздался дружный хор голосов:
– Это электромагнитная волна! – И даже высокомерные аристократы ощутили в этот миг радость маленького открытия.
Профессор сиял, довольный произведенным впечатлением.
– Вот так ускорение заряда и порождает излучение! Знак ускорения не важен, подобную картинку можно нарисовать и для мгновенного торможения заряда. С помощью этого рисунка можно даже делать кое-какие количественные предсказания. Например, я могу с уверенностью утверждать, что в направлении ускорения интенсивность излучения будет нулевой. Смотрите, эта силовая линия не претерпевает излома, и густота линий на сфере, соответствующих полю излучения, будет в этом месте нулевой.
– А теперь обратите внимание вот на что. Излучение электромагнитных волн – это прямое следствие теории относительности, которая гласит, что всякое взаимодействие (в нашем случае – сигнал об изменении скорости частицы) распространяется НЕ мгновенно. Если бы изменение поля вслед за изменением положения заряда происходило бы мгновенно во всем пространстве, как считали во времена Ньютона, наша картинка была бы неправильной. Не было бы никакой сферы, на которой формируется поперечное поле излучения, и никакого излучения вообще не было бы.
– Но тогда связь была бы мгновенной: подвигал заряд здесь, и все об этом сразу знают, – послышалась реплика из глубины аудитории. – А то с Марсом по телефону говорить – одно мучение!
– А вот и нет! – возразил профессор, обрадованный таким простым вопросом. – Только поле излучения убывает с расстоянием как 1/r. Статические поля (которые только бы и остались в вашем воображаемом мире) убывают не медленнее, чем по закону обратных квадратов, так что никакой дальней связи не получится.
– Совсем как любовь, – вставила принцесса Дзинтара, – когда предмет любви находится вдали от тебя два дня, любовь ослабевает в четыре раза, а когда целых три дня – уже в девять раз! – После того как класс отсмеялся, девочка, довольная произведенным эффектом, добавила: – Так писали в научно-популярных книгах восемнадцатого века!
Мальчик в очках с первой парты не дал дискуссии уйти в сторону:
– Так что же с применимостью теории, профессор?
– «Мгновенность» изменения скорости означает, что промежуток времени, в течение которого заряд двигался ускоренно, намного короче других характерных времен данной задачи. А какое время является характерным в задаче об излучении электромагнитной волны?
– Период волны? – предположила Никки.
– Верно! Так что наша идеализация с мгновенным ускорением заряда вполне законна, если мы интересуемся излучением достаточно низких частот.
– А намного короче – это сколько?
– В хорошей теории – в десять раз меньше, а в плохой – в два.
Класс отреагировал ожидаемым смехом.
– Но зачем нужны плохие теории? – Никки была слегка разочарована.
– А если других нет? Создайте лучшую – все в ваших руках!
Прозвенел звонок. Профессор озарил класс заключительной улыбкой.
– До свидания! – и, обернувшись от самой двери, добавил: – А сажать картошку сейчас самое время! Я договорюсь, чтобы вам выделили участок. После таких упражнений умственная работа доставляет еще большее наслаждение!
* * *
Этот наглядный пример впервые появился, по-видимому, в книге Шотта [1] (того самого, который рассчитал излучение электрона, движущегося по окружности, и показал нестабильность классического резерфордовского атома). Впоследствии он разбирался в учебнике Э. Парселла из «Берклеевского курса физики» [2], а также, время от времени, в различных методических статьях (см., например, [3, 4]). В отечественной литературе такой способ изображения поля излучения силовыми линиями активно пропагандирует Борис Михайлович Болотовский (см., в частности, [5–7]).
А о приключениях Никки и ее друзей можно узнать из книги [8].
- Schott G.A. Electromagnetic radiation and the mechanical reactions arising from it. – Cambridge, Cambridge University Press, 1912. – p. 74–76.
- Парселл Э. Электричество и магнетизм. – М., Наука, 1983.
- Tsien R.Y. // Am. J. Phys. 40 (1972) 46.
- Ohanian H.C. // Am. J. Phys. 48 (1980) 170.
- Болотовский Б.М. Путь формирования и его роль в излучении движущихся зарядов // Ионизационные эффекты и переходное излучение релятивистских заряженных частиц (Труды ФИАН; Т. 140). М.: Наука, 1982. С. 95.
- Болотовский Б.М., Давыдов В.А. Заряд, среда, излучение. М., Знание, 1989.
- Болотовский Б.М., Серов А.В. Об изображении поля излучения с помощью силовых линий // УФН 167 (1997) 1105.
- Горькавый Ник. Астровитянка. – АСТ, 2011.